Es geht um die Lösung folgender Grundprobleme der linearen Algebra - lineare Gleichungssysteme,
- lineare Ausgleichsprobleme,
- Eigenwertprobleme
in Funktionenräumen (d.h. in Vektorräumen mit unendlicher Dimension) durch stabile Approximation des Problems in einem Raum mit endlicher Dimension.
Ablauf:
- Crashkurs Hilbertraum: Metrik, Norm, Skalarprodukt, Vollständigkeit
- Crashkurs Operatoren: Beschränktheit, Norm, Kompaktheit, Projektoren
- gleichmäßige vs. starke Konvergenz, Approximationsverfahren
- Anwendbarkeit / Stabilität von Approx.verfahren, Satz von Polski
- Galerkinverfahren, Kollokation, Splineinterpolation, Abschneideverfahren
- Faltungs- und Toeplitzoperatoren
- Crashkurs C*-Algebren
- Konvergenz von Konditionszahlen
- Konvergenz spektraler Größen: Spektrum, Eigenwerte, Singulärwerte, Pseudospektrum
- Regularisierungsverfahren (truncated SVD, Tichonov)
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